ANTIDERIVADA

ANTIDERIVADA

Definición:   Una función F recibe el nombre de antiderivada de f en un intervalo I si

                                               F´(x) =f(x) para todo  x en I

Teorema:

Si  F es una antiderivada f de un intervalo I entonces la derivada más general de f en I es:  F(x)+C donde C es una constante arbitraria 

Ejemplo:  f(x)=x²   

 F(x)= 1/3 x³ +c

G(x)=  1/3x³ +100

H(x)= 1/3 x³ -27

Una función F´(x) =f(x) se llama Antiderivada de f(x). En general, para una misma función f(x) podemos encontrar varias antiderivadas. Mediante las reglas básicas de derivación sabemos que si  F(x)= 7x² ,

entonces F´(x)= 14x , por tanto,  F(x)= 7x²    es una antiderivada de  F´(x)= 14x .

Otras antiderivadas de f(x)=14x   son: G(x)= 14x+27,  H(x)=  14x-15 y    M(x)=14x+4.

Si F(x) es una derivada de f(x), cualquier otra antiderivada es de la forma F(x)+c.

Esta Función se llama antiderivada general y se escribe :  F(x)+c = ∫ f(x) dx.

F´(x) es una solución de la ecuación  dy/dx= f(x)  donde

                                                         dy=f(x) dx

las operaciones de encontrar todas las soluciones de esta ecuación se denomina Integración

                                                     y=  ∫ f(x) dx  = F(x)+c

Ejemplo 1: Un auto se mueve con velocidad constante de 45 m/s ¿cuál es su posición s(t) para un tiempo t, si en t=1 segundo el auto se hallaba en s=10 m?
solución;
 v(t)= ds/dt
donde   ds/dt= 45
se sabe que la derivada de s(t) es 45
despejando tenemos   ds=45 dt
donde  ∫ds =∫ 45 dt
              s(t)= 45t +c la antiderivada general

 Fórmulas de antiderivación

función	Antiderivada  particular
c f(x)	c  f(x)
xn    (n≠ -1)	Xn+1/ n+1
1/x	Ln / x/
ex	ex
Cos x	Sen x
senx	-    cosx
Sec2x	tangx
Secx tangx

EJEMPLO 2

Hallar la antiderivada de f(x)= 3x²

La funcion que se derivó es F(x)=x³ pero también 

F₁(x)= x³ -2 

F₂(x)= x³ -5 

F₃(x)= x³ +9 

F₄(x)= x³ +6/4

F(x)= x³ +C 

Pues todas tienen pendientes 3x² es decir se puede afirmar que 

la función F(x)= x³ +C   es la antiderivada de f(x)= 3x² con diferentes intersecciones con el eje y como vemos en las gráficas para los diferentes valores de la constante C

C =-2  C=-5  C=9  C=6/4

EJEMPLO 3:
suponga que se desea obtener una antiderivada particular que satisface la ecuación dy/dx= 2x con la condición inicial x=2 y=6
Solución:

dy = 2x dx

∫dy =∫ 2x dx

y= x²  + c

sustituyendo los valores de x y y tenemos:

6= 4 + c despejando  c = 2 

entonces la  antiderivada particular   es    y= x²  + 2